526. 优美的排列

假设有从 1 到 N 的 N 个整数，如果从这 N 个数字中成功构造出一个数组，使得数组的第 i 位 (1 <= i <= N) 满足如下两个条件中的一个，我们就称这个数组为一个优美的排列。条件：

1. 第 i 位的数字能被 i 整除
2. i 能被第 i 位上的数字整除

现在给定一个整数 N，请问可以构造多少个优美的排列？

示例1:

输入: 2
输出: 2
解释: 

第 1 个优美的排列是 [1, 2]:
  第 1 个位置（i=1）上的数字是1，1能被 i（i=1）整除
  第 2 个位置（i=2）上的数字是2，2能被 i（i=2）整除

第 2 个优美的排列是 [2, 1]:
  第 1 个位置（i=1）上的数字是2，2能被 i（i=1）整除
  第 2 个位置（i=2）上的数字是1，i（i=2）能被 1 整除

说明:

1. N 是一个正整数，并且不会超过15。

动态规划 中等

代码

1. 回溯

class Solution:
    def countArrangement(self, n: int) -> int:
        pos = defaultdict(list)
        for i in range(1,n+1):
            for j in range(1,n+1):
                if i%j == 0 or j%i == 0:
                    pos[i].append(j)
        def dfs(idx):
            if idx == n + 1:
                nonlocal ans
                ans += 1
            for num in pos[idx]:
                if num not in seen:
                    seen.add(num)
                    dfs(idx+1)
                    seen.discard(num)
        ans = 0
        seen = set()
        dfs(1)
        return ans

2. 动态规划

class Solution:
    def countArrangement(self, n: int) -> int:
        f = [0] * (1 << n)
        f[0] = 1
        for mask in range(1, 1 << n):
            num = bin(mask).count("1")
            for i in range(n):
                if mask & (1 << i) and (num % (i + 1) == 0 or (i + 1) % num == 0):
                    f[mask] += f[mask ^ (1 << i)]
        
        return f[(1 << n) - 1]