1269. 停在原地的方案数

有一个长度为 arrLen 的数组，开始有一个指针在索引 0 处。

每一步操作中，你可以将指针向左或向右移动 1 步，或者停在原地（指针不能被移动到数组范围外）。

给你两个整数 steps 和 arrLen ，请你计算并返回：在恰好执行 steps 次操作以后，指针仍然指向索引 0 处的方案数。

由于答案可能会很大，请返回方案数 模 10^9 + 7 后的结果。

示例 1：

输入：steps = 3, arrLen = 2
输出：4
解释：3 步后，总共有 4 种不同的方法可以停在索引 0 处。
向右，向左，不动
不动，向右，向左
向右，不动，向左
不动，不动，不动

示例 2：

输入：steps = 2, arrLen = 4
输出：2
解释：2 步后，总共有 2 种不同的方法可以停在索引 0 处。
向右，向左
不动，不动

示例 3：

输入：steps = 4, arrLen = 2
输出：8

提示：

• 1 <= steps <= 500
• 1 <= arrLen <= 10^6

动态规划 困难 每日一题

又是不会做的一天

官方题解↓：

class Solution:
    def numWays(self, steps: int, arrLen: int) -> int:
        mod = 10**9 + 7
        maxColumn = min(arrLen - 1, steps)
        dp = [[0] * (maxColumn + 1) for _ in range(steps + 1)]
        dp[0][0] = 1

        for i in range(1, steps + 1):
            for j in range(0, maxColumn + 1):
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
                if j - 1 >= 0:
                    dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - 1]) % mod
                if j + 1 <= maxColumn:
                    dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j + 1]) % mod
        
        return dp[steps][0]

将 min(arrLen - 1, steps) 改为 min(arrLen - 1, steps//2+1) 后，可缩短一半时间

更进一步，又可将二维数组优化到一维数组↓：

class Solution:
    def numWays(self, steps: int, arrLen: int) -> int:
        mod = 10**9 + 7
        maxColumn = min(arrLen - 1, steps//2+1)

        dp = [0] * (maxColumn + 1)
        dp[0] = 1

        for i in range(1, steps + 1):
            dpNext = [0] * (maxColumn + 1)
            for j in range(0, maxColumn + 1):
                dpNext[j] = dp[j]
                if j - 1 >= 0:
                    dpNext[j] = (dpNext[j] + dp[j - 1]) % mod
                if j + 1 <= maxColumn:
                    dpNext[j] = (dpNext[j] + dp[j + 1]) % mod
            dp = dpNext
        
        return dp[0]